实数
- 实数：完备的有序域
- 完备性（度量空间）
- 连续性（完备性+阿基米德性质）
- 戴德金公理
- 确界存在定理
- 单调有界定理
- 有限覆盖定理
- 聚点定理
- 致密性定理
- 介值定理
- 实数有小数表示
空间
- 空间：集合 $X$
- 拓扑空间
- $\mu$ 是全部开集，若
- 全集，$\emptyset\in\mu$
- 任意个集合并 $\in\mu$
- 有限个集合交 $\in\mu$
- $\mu$ 给定了一个拓扑
- 度量空间
- $d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$
- 欧式空间：$(\mathbb{R}^n,d)$
- 子空间：$Y\subseteq X,(X,d)$ 为度量空间
- 完备空间：任何柯西列都收敛
- 范数空间：定义范数
- 线性空间：线性结构
- 内积空间：定义内积
集合
- $\bigcup_{\lambda\in \Lambda}={x:\exists \lambda\in\Lambda,x\in A_\lambda}$
- $\bigcap_{\lambda\in \Lambda}={x:\forall \lambda\in\Lambda,x\in A_\lambda}$
- 数列的上下极限
- $\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}} a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}{a_k}=\inf_{n\geq 1}\sup_{k\geq n}{a_k}$ （最大的聚点）
- $\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}{a_k}=\sup_{n\geq 1}\inf_{k\geq n}{a_k}$ （最小的聚点）
- 集合列的上下极限
- $\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}} A_n=\bigcap_{n\geq 1}\bigcup_{k\geq n}A_k$
- $\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}} A_n=\bigcup_{n\geq 1}\bigcap_{k\geq n}A_k$
- 若 $\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}} A_n=\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}} A_n$ 则 $\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$ 存在
- 递增集列：$\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$
- 递减集列：$\lim_{n\rightarrow\infty}A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n$
- 双等（对等、等势）：存在从 $A$ 到 $B$ 的一一映射
- 对等是等价关系
- 有限集：$A$ 与 ${1,2,\cdots,n}$ 对等
- 无限集：非有限集
- 基数（势）：$|A|$
- $|A|=|B|\iff A\sim B$
- $|A|<|B|\iff A\sim C,C\subsetneq B$
- 伯恩斯坦定理：$|A|\leq|B|,|B|\leq|A|\Rightarrow|A|=|B|$
- 可数集合：与 $\mathbb{Z}_+$ 对等，基数为 $ℵ_0$
- 任何无限集合至少包含一个可数子集
- 可数子集的任何无限子集是可数集
- 至多可数集：至多可数集 + 有限集
- 至多可数个至多可数集的并是至多可数集
- 有限个至多可数集的直积是至多可数集
- 康托尔定理：幂集阶数大于原集合
- $\mathbb{R}\sim 2^{\mathbb{N}}$
- $\mathbb{R}$ 不可数，连续基数 $\mathcal{C}$
- $\mathcal{C}$ 个连续基数集合并为连续基数
- 至多可数个连续基数集合直积为连续基数
- $\mathbb{R}^n=\mathcal{C}$
点
- $\delta$-邻域：$U(P_0,\delta)={P:d(P,P_0)<\delta}$
- 以附近是否都是 $E$ 中的点划分
- 内点：$\exists U(P_0,\delta),U(P_0,\delta)\subseteq E$
- 外点：$\exists U(P_0,\delta),U(P_0,\delta)\subseteq E^c$
- 边界点：$\exists U(P_0,\delta),U(P_0,\delta)\cap E\neq \emptyset,U(P_0,\delta)\cap E^c\neq \emptyset$
- 开核 $\dot{E}$：内点集合
- 边界 $\partial{E}$：边界点集合
- 以附近是否总有 $E$ 中的点划分
- 聚点：$\forall \epsilon,\exists P\neq P_0,P\in E,P\in U(P_0,\epsilon)$
- 孤立点： 非聚点
- 导集 $E’$：$E$ 全体聚点的集合
- 闭包 $\overline{E}=E\cup E'$
- 定理
- $(\dot{E})^c=\overline{E^c}$
- $(\overline{E})^c=(\dot{E^c})$
- $(A\cup B)’=A’\cup B'$
- $E\neq \emptyset,E\neq \mathbb{R}^n$ 则 $\partial E\neq\emptyset$
- Bolzano-Weierstrass 定理：$E\subset \mathbb{R}^n$ 有界无限集合，则 $E$ 至少有一个聚点
开集
- 开集：$\forall x\in E,x$ 内点 ($E=\dot{E}$)
- $\dot{E}=\bigcup_{G\subset E\text{ 开集}}G$
- 任意开集的并是开集
- 有限个开集的交是开集
- $G_n=(-1-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}),\bigcup_{n=1}^\infty G_n=[-1,1]$
- 闭集：$\forall$ 聚点 $\in E$ ($E=\overline{E}$)
- $\overline{E}=\bigcap_{F\subset E\text{ 闭集}}F$
- 任意闭集的交是闭集
- 有限闭集的交是闭集
- 对偶性：$E$ 开（闭）则 $E^c$ 闭（开）
- 紧集：若 $M\subset \mathbb{R}^n$ 的任一开覆盖总有有限子覆盖，则 $M$ 是紧集
- Heine-Borel: $\mathbb{R}^n$ 有界闭区间的任一开区间覆盖总有有限子覆盖
- $\mathbb{R}^n$ 的有界闭集是紧集
- $M\subset \mathbb{R}^n$ 是紧集，则 $M$ 是有界闭集
- 自密集：$E\subset E’$（没有孤立点）
- 完备集：$E=E’$（无孤立点闭集）
- $\mathbb{R}^1$ 中集合构造
- 直线上互不相交的区间的集合是至多可数集
- 构成区间：$G$ 是开集，$(\alpha,\beta)\subset G,\alpha,\beta\not\in G$
- 开集构造定理：直线上任意一个非空集合可以表成至多可数个互不相交的构成区间的并
- 余区间（邻接区间）：闭集 $A$ 的余集的构成区间
- Cantor 三分集 $P$
- $P$ 完备
- $P$ 无内点
- $P$ 连续基数
- $P$ 测度为 $0$
外测度
- 勒贝格测度公理
- 非负性: $P(A)\geq 0$
- 可列可加性
- 正则性: $P(\empty)=0,P(\Omega)=1$
- 外测度：$m^*(E)=\inf {\sum_{i=1}^\infty |I_i|:\bigcup_{i=1}^\infty I_i\supset E}, I_i$ 为开区间
- $m^*(\emptyset)=0$
- $m^*({P})=0$
- $m^*({P_1,\dots,P_n,\cdots})=0$
- 基本性质
- 非负性：$m^*(E)\geq 0$
- 次可数可加性：$m^(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)\leq \sum_{i=1}^\infty m^(A_i)$
- 单调性：$A\subset B,m^(A)\leq m^(B)$
- 正则性：$m^*([0,1])=1$
- 任意区间 $I$，$m^*(I)=|I|$
- 平移不变性：$m^(E)=m^(\tau_a E)$
- 反射不变性
可测
- (Caratheodory) $L$-可测的：$\forall T\subset \mathbb{R}^n,m^(T)=m^(T\cap E)+m^*(T\cap E^c)$
- 此时 $m$ 的测度： $m(E)=m^*(E)$
- $\iff\forall I\subset \mathbb{R}^n,m^(I)=m^\star(I\cap E)+m^(I\cap E^c)$, $I$ 为开区间
- $\iff\forall A\subset E,B\subset E^c,m^(A)+m^(B)=m^*(A\cup B)$
- 可测集的运算
- $S^c$ 可测
- $S_1,S_2$ 可测，$S_1\cup S_2$ 可测
- $S_1-S_2$ 可测
- 有限个可测集之并（交）可测
- 至多可数个可测集之并（交）可测
- ${S_i}{i=1}^\infty$ 递增可测集，则 $\lim{i\rightarrow\infty}S_i$ 可测，$m(\lim_{i\rightarrow S_i})=\lim_{i\rightarrow \infty}m(S_i)$
- ${S_i}{i=1}^\infty$ 递减可测集，则 $\lim{i\rightarrow\infty}S_i$ 可测，当 $m(S_1)<\infty$ 时，$m(\lim_{i\rightarrow S_i})=\lim_{i\rightarrow \infty}m(S_i)$
$\sigma$ 代数
- $\Omega$ 上的 $\sigma$ 代数（$\Omega$ 是 $X$ 某些子集组成的集合类）
- $X\subset \Omega$
- 可数并下封闭
- 取余集下封闭
- $\Sigma$ 生成的 $\sigma$ 代数：包含 $\Sigma$ 的 $\sigma$ 代数之交
- Borel $\sigma$ 代数：$\mathbb{R}^n$ 上所有开集生成的 $\sigma$ 代数
- 开集
- 闭集
- $F_\sigma$ 型集合：闭集可数并
- $G_\delta$ 型集合：开集可数交
- 可测集类 $\mu$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 $\sigma$ 代数
- 非 Borel 集可测集
- 若 $E$ 可测，则 $m(E)=\inf{m(G):E\subset G,G\text{ 开集}}=\sup{m(F):E\supset F,F\text{ 紧集}}$ （外正规性+内正规性）
- $\forall \epsilon>0,\exists G$ 开集，$E\subset G,m(G-E)<\epsilon$
- $\forall \epsilon>0,\exists F$ 闭集，$E\supset G,m(E-F)<\epsilon$
- 若 $E$ 有界，且 $m(E)=\inf{m(G):E\subset G,G\text{ 开集}}=\sup{m(F):E\supset F,F\text{ 紧集}}$，则 $E$ 可测
- $E$ 是可测集，则
- 存在 $G_\delta$ 型集 $G$ 使 $G\supset E,m(G-E)=0$
- 存在 $F_\sigma$ 型集 $F$ 使 $F\subset E,m(E-F)=0$
不可测集
- Vitali 集
- 等价关系：$x\sim y\iff x-y\in\mathbb{Q}$
- 每个等价类取一个代表元，构成一个不可测集
- 任意一个测度大于 $0$ 的集合中有不可测子集
- 满足正则性，可数可加性和全等不变性的测度存在不可测集