可测函数

函数

连续函数：$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\forall x_0\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U(x_0,\delta)\subset f^{-1}(f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)$
连续函数：$f:X\rightarrow\mathbb{R}$，开集的原像是开集
- 可验证开区间的原像是开集
- 可验证 $(a,b)$ 是开集
研究函数：$f:E\rightarrow\mathbb{R},E\subseteq\mathbb{R}^n$ 可测且 Borel 集的原像是可测集
- 减少需要验证的集合
- 研究无穷的函数

广义实值函数 $f:E\rightarrow\mathbb{R}\cup{+\infty,-\infty}$
- $+\infty$ 大于所有实数，$-\infty$ 小于所有实数
有限函数：$f:E\rightarrow\mathbb{R}$
有界函数：有界函数是有限函数
可测函数：$f:E\rightarrow\mathbb{R}\cup{+\infty,-\infty}$ 可测，如果 $\forall a,{x\in E:f(x)>a}\doteq E[f>a]$ 可测
- 等价于：$\forall a,E[f\leq a]$ 可测
- 等价于：$\forall a,E[f\geq a]$ 可测
- Borel 集的原像是可测集
可测函数四则运算仍为可测函数
${f_n(x)}$ 是 $E$ 上至多可数个可测函数，则上下确界可测
- 连续函数无此性质
- 上下极限可测
$f$ 的正部和负部可测
- $f^+(x)=\max(f(x),0)$
- $f^-(x)=\min(f(x),0)$
可测函数例
- $f=C\in\mathbb{R}$
- 连续函数
- 单调函数
- 简单函数：广义实值函数在可数个互不相交可测集上的限制分别为常值函数
  - Dirichlet
可测函数的限制是可测函数

$E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 可测集
- $f(x)$ 在 $E$ 上非负可测，则存在非负简单函数 ${\varphi_k(x)}$，$\forall x\in E,\varphi_k(x)\leq\varphi_{k+1}(x),\lim_{k\rightarrow\infty}\varphi_k(x)=f(x)$
- $f(x)$ 在 $E$ 上可测，则存在简单函数 ${\varphi_k(x)},\forall x\in E,\lim_{k\rightarrow\infty}\varphi_k(x)=f(x)$
  - 当 $f(x)$ 有界，一致收敛

逐点收敛：${f_k},\forall x\in E,\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall k\geq N,|f_k(x)-f(x)|<\epsilon$
一致收敛：${f_k},\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in E,\forall k\geq N,|f_k(x)-f(x)|<\epsilon$
- 等价：$\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|=0$
- 非一致收敛例：$f_k(x)=x^k,E=[0,1]$
- 一致收敛连续函数极限为连续函数
几乎处处（almost everywhere, a.e.）：某个性质在去掉一个 0 测集之后成立
叶果罗夫（Egorov）定理：${f_k},f$ a.e. 有限可测函数，$m(E)<\infty$，$f_k(x)\rightarrow f(x),k\rightarrow\infty$ a.e. 于 $E$，则 $\forall\delta>0,\exists E_\delta\subset E,m(E_\delta)\leq\delta,{f_k}$ 在 $E-E_\delta$ 上一致收敛于 $f$
依测度收敛 $f_n(x)\Rightarrow f(x)$：$f,{f_n}$ 定义在 $E$ 上的 a.e. 有限的可测函数，如果 $\forall\sigma>0,\lim_{n\rightarrow\infty}m(E[|f-f_n|\geq\sigma])=0$
- $f_n(x)\Rightarrow f(x),f_n(x)\Rightarrow g(x),m(E[f\neq g])=0$
- $f_n(x)=[x\geq n]$ 不依测度收敛，几乎处处收敛
（勒贝格）若函数满足叶果罗夫定理条件，则函数依测度收敛到 $f$
（里斯）$E$ 上 ${f_n}$ 依测度收敛于 $f$，则存在子列 ${f_{n_s}}$ 在 $E$ 上 a.e. 收敛于 $f$

鲁津定理（Luzin）：$f(x)$ 是 $E$ 上可测函数，a.e. 有限，$\forall\delta>0,\exists$ 闭集 $F_\delta\subset E,m(E-F_\delta)<\delta$，$f(x)$ 在 $F_\delta$ 上连续
$f(x)$ 是 $E\subset\mathbb{R}^1$ 上 a.e. 有限的可测函数，$\forall\delta>0,\exists$ 闭集 $F_\delta$，及 $\mathbb{R}^1$ 上的连续函数 $g_\delta(x)$，使得 $m(E-F_\delta)<\delta,f(x)$ 和 $g_\delta(x)$ 在 $F_\delta$ 上相等，且 $\sup_{\mathbb{R}^1}g_\delta(x)=\sup_{F_\delta}f(x),\inf_{\mathbb{R}^1}g_\delta(x)=\inf_{F_\delta}f(x)$
Urysohn 引理：$X$ 上正规拓扑空间，$A,B\subset X$ 闭子集，$\exists$ 连续函数 $f:X\rightarrow [0,1]$ s.t. $f|_A\equiv 0,f|_B\equiv 1$
Tietze 延拓定理：$X$ 是正规拓扑空间（$T_4$ 分离性），$F\subset X$ 闭子集，则可将 $F$ 上的连续函数延拓成 $X$ 上的连续函数