勒贝格积分 | Zangwei

非负简单函数的 Lebesgue 积分

简单函数：$f(x)=\sum_{i=1}^sc_iX_{E_i}(x), c_i\geq 0$
def. $\int_E f(x)dx=\sum_{i=1}^sc_im(E_i)$
$\int_{A\cup B}f(x)dx=\int_Af(x)dx+\int_Bf(x)dx$
${A_n}{n=1}^{\infty}$ 为 $E$ 一列可测子集，$A_1\subset A_2\subset\cdots$，$E=\sum{n=1}^\infty A_n=\lim_{n\rightarrow \infty} A_n$，则 $\int_{\lim_{n\rightarrow A_n}}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{A_n}f(x)dx$
线性：$\int_E(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx = \alpha\int_E f(x)dx+\beta\int_E g(x)dx$

def. $\int_Ef(x)=\sup{\int_E\varphi(x)dx,\varphi(x)\leq f(x)},\varphi$ 为非负简单函数
$f(x)\leq g(x),\int_E f(x)dx\leq\int_E g(x)dx$
def. 勒贝格可积（L-可积）:$\int_Ef(x)<+\infty$
L-可积则 $m(E(f=+\infty))=0$
$\int_{A\cup B}f(x)dx=\int_Af(x)dx+\int_Bf(x)dx$
线性
Levi 单调性定理：${f_n}$ 递增，$x\in E,\forall n,f_n(x)\leq f_{n+1}(x),\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n(x)=f(x)$，则$\lim_{n\rightarrow}\int_Ef_n(x)=\int_Ef(x)dx$
- 逐项积分（无穷级数、积分交换）
Fatou 引理：$\int_S\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}}f_nd\mu\leq\underline{\lim_{n\rightarrow\infty}}\int_Sf_nd\mu$
零测集不影响积分

def. $f$ 可测且积分确定时，在 $E$ 上的 L-积分为 $\int_E f(x)dx=\int_E f^+(x)dx -\int_Ef^-(x)$
- 积分确定：$f^+,f^-$ 至少一个有限
- L 可积：两个都有限
- L(E)：L 可积函数全体
可数可加性：$E=\cup_{n=1}^{+\infty}E_n$ 不相交，$\int_Ef(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{E_n}f(x)dx$
$f\in L(E)\iff|f|\in L(E)$ 与 Riemann 积分不同
绝对连续性：$f\in L(E),\forall \epsilon>0,\exists\delta>0$，当 $m(A)<\delta$ 则 $|\int_Af(x)dx|\leq\int_A|f(x)|dx<\epsilon$
$g\in L(E),g\geq 0,|f|\leq g$ 则 $f\in L(E)$
线性

非负 + 单调：Levi 单调性定理
非负，下极限的积分$\leq$积分的下极限：Fatou 引理
勒贝格控制收敛定理: ${f_n}$ 是 $E$ 上的可测函数，$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)$ a.e. 于 $E$，若 $\exists E$ 上的非负 L 可积函数 $F$，使 $\forall n\in\mathcal{N},|f_n(x)|\leq F(x)$ a.e. 于 $E$，则 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_E f_n(x)dx=\int_Ef(x)dx$

有界函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上 $R$ 可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上 L 可积，且 (L)$\int_{[a,b]}f(x)dx=\int_a^bf(x)dx$(R)
反常函数也相同

def. 下方图图形：$G(E,f)={(x,z):x\in E,o\leq z<f(x)}\subset R$
$f(x)$ 为可测函数，则 $G(E,f)$ 是 $\mathcal{R}^{n+1}$ 中的可测集。当$f(x)$ 在 $E$ 上可测时，$\int_Ef(x)dx=m(G(E,f))$
可测集的直积是可测集
- $m(A\times B)=m(A)\cdot m(B)$
$E\subset \mathcal{R}^{n=p+q},x_0$ 是 $\mathcal{R}^p$ 中的固定点，则 ${y\in\mathcal{R}^q:(x_0,y)\in E}\subset\mathcal{R}^q$ 称为 $E$ 关于 $x_0$ 的截面，记为 $E_{x_0}$
Fubini 定理：$A\subset\mathcal{R}^p$ 可测，$B\subset\mathcal{R}^q$ 可测
- 若 $f(p)=f(x,y)$ 在 $A\times B\subset\mathcal{R}^{p+q}$ 上非负可测，则对 a.e. 的 $x\in A$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $B$ 上可测且 $\int_{A\times B}f(p)dp=\int_A(\int_Bf(x,y)dy)dx$
- 若 $f(p)=f(x,y)$ 在 $A\times B\subset\mathcal{R}^{p+q}$ 上可积，则对 a.e. 的 $x\in A$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数在 $B$ 上可积且 $\int_{A\times B}f(p)dp=\int_A(\int_Bf(x,y)dy)dx$