数值分析研究对象与特点

• 计算方法：在计算机上求解数学问题的理论、方法及其软件实现
• 现代科学三个组成：科学理论，科学实验和科学计算

误差

• 误差来源
  • 建立数学模型：模型误差
  • 测量数据：测量误差
  • 构成数值算法：方法误差
  • 数值运行执行
    • 表示数据有限：舍入误差
    • 计算机对无穷过程截断：截断误差
• 绝对误差：$|e^*|$
  • 精确值：$x^*$
  • $e^=x-x^$
  • 绝对误差界：$|e^|<\epsilon^$
• 相对误差：$e_r=\frac{e^}{|x^|},x^*\neq0$
  • 相对误差界：$e_r^=\frac{\epsilon^}{|x^*|}$
• 有效位数：$x=\pm 0.a_1a_2\cdots a_n\times 10^m$
  • 四舍五入后绝对误差界限为被保留的数字中最后数位的半个单位：$0.5\times 10^{m-n}$
  • 有效数字：如果近似值的误差限是某一位上的半个单位，且该位置到 x 的第一位非零数字一共 n 位， 则称近似值 x 有 n 位有效数字 $0.5\times 10^{m-n-1}<|x-x^*|\leq 0.5\times10^{m-n}$
  • 取 $n$ 位有效数字，则先对 $n+1$ 位四舍五入
• 误差界运算
  • $\epsilon(x_1^\pm x_2^)=\epsilon(x_1^)+\epsilon(x_2^)$
  • $\epsilon(x_1^x_2^)\approx|x_1|\epsilon(x_2^)+|x_2|\epsilon(x_1^)$
  • $\epsilon(\frac{x_1^}{x_2^})\approx\frac{|x_1|\epsilon(x_2^)+|x_2|\epsilon(x_1^)}{|x_2^*|^2}$
  • $\epsilon(f(x^))\approx |f’(x^)|\epsilon(x^*)$
    • $f(x)-f(x^)= f’(x^)(x-x^)+\frac{f’’(\xi)}{2}(x-x^)^2, \xi\in[x,x^*]$

病态问题与条件数

• 病态：初始数据微小扰动，导致计算结果产生很大影响（反之良态）
  • 即时算法数值稳定，也无法得到好的解（采集数据就有误差）
• 计算函数值的条件数：$C_p=|\frac{f(x)-f(x^*)}{f(x)}|/|\frac{\Delta x}{x}|=\frac{xf’(x)}{f(x)}$

算法中需要注意的地方

• 使用数值稳定的算法：输入数据有误差，但在运算过程中摄入误差不增长的算法为数值稳定的

• 避免绝对值远小于分子的数做分母

• 避免两个绝对值很大的数相乘

• 避免两个相近的数相减

  • $x$ 很大时

  $$\sqrt{x+k}-\sqrt{x}-\frac{k}{\sqrt{x+k}+\sqrt{x}}$$

  • $x_1,x_2$ 相近

  $$\lg x_1-\lg x_2=\lg \frac{x_1}{x_2}$$

  • $f(x)\approx f(x^)$ 但 $x,x^$ 不接近

  $$f(x)-f(x^)=f’(x^)(x-x^)+\frac{1}{2}f’’(x-x^)^2+\cdots$$

• 避免大数吃小数

• 简化计算步骤，减少运算次数