群的定义
- 代数运算: 任一个由 $A\times A$ 到 $A$ 的映射（闭合）
- 代数系统 $(A,\cdot)$：非空集合上定义代数运算
- 半群（semigroup）：满足结合律
- $a_1a_2\dots a_n$的结果与括号的添加方式无关
- 半群 $G$ 构成群 $\iff G$ 满足可除性条件：$\forall a,b\in G, ax=b,ya=b$ 在 $G$ 中都有解
- 消去律成立的有限半群为群
- 幺半群（monoid）：满足结合律，有单位元
- 群：非空集合 $G$ 上定义一个代数运算满足
- 结合律：$a(bc)=(ab)c$
- 单位元（幺元）：$\exists e, \forall a\in G, ea=a$
- $\forall a\in G, \exists b\in G, a\cdot b=b\cdot a=1$
- Basic Properties of Groups
- uniqueness of identities
- uniqueness of inverse
- $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$
- $(a^{-1})^{-1}=a$
- uniqueness of solution to $ax=b(xa=b)$
- cancellation laws: $ab=ac\Rightarrow b=c,ba=ca\Rightarrow b=c$
- Visualization
- Describe a group in Cayley table
- Cayley graph: $\Gamma=\Gamma(G,S),S$ generates $G$
- $s\in S$ assigned a color $c_s$
- $\forall g\in G,s\in S,$ edge $(g,gs)$ is assigned $c_s$
- 交换群（Abel 群）
- 满足交换律的半群，$a_1a_2\dots a_n$ 可任意颠倒顺序
- 若 $G$ 中任一元素阶为 1 或 2，则 $G$ 为 Abel 群
- $(ab)^n=a^nb^n$
- 有限群：$|G|=n<\infty$，称为 $n$ 阶群
循环群
- The smallest subgroup contains $a$: $\langle a\rangle$
- abelian
- $o(g)$：元素 $g$ 的阶, 满足 $g^k=1$ 的最小正整数 $k$
- 若不存在，则 $g$ 为无限阶元素
- $g^k=1\Rightarrow o(g)|k$
- $o(g)=|\langle g\rangle |$
- 定理
- 循环群的子群仍是循环群
- $o(g^m)=|\langle g^m\rangle|=|\langle g^{(m,o(g))}\rangle|=\frac{o(g)}{(m,o(g))}$
- 素数阶群为循环群
- 循环群的子群仍是循环群
| 循环群阶 | $\cong$ | 子群 | 子群数量 | 生成元 | 生成元数量 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\infty$ | $\mathbb{Z}$ | $\langle a^n\rangle$ | $\infty$ | $g^{\pm1}$ | 2 |
| $n$ | $\mathbb{Z}_n$ | $\langle g^{\frac{n}{s}}\rangle,s\vert n$ | $d(n)$ | ${g^{k}\vert (k,n)=1,0\leq k<n}$ | $\varphi(n)$ |
子群
- 子群：$H\subseteq G$且 $H$ 按 $G$ 的乘法构成群，则 $H\leqslant G$。 若$H\not= G$ 则 $H<G$
- 子群的验证定理： 以下命题等价
- $H\leqslant G$
- $e\in H$ 且 $\forall a\in H,a^{-1}\in H$ 且 $\forall a,b\in H, ab\in H$
- $\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H$
- 集合的运算
- $X^{-1}={x^{-1}:x\in Z}$
- $XY={xy:x\in X,y\in Y}$
- 对于子群 $H$，$H^{-1}=H, HH=H$
- 定理：群$G$若干子群交仍是$G$的子群
- 生成子群：$\langle S\rangle = \cap_{S\subseteq H\subseteq G}H = {x_1^{m_1}\cdots x_k^{m_k}:x_i,m_i\in Z}$
- $\langle g\rangle={g^k|k\in Z}$：包含 $g$ 的最小子群
- 有限生成群：$|\langle S\rangle | < \infty$
- 循环群：$\langle g\rangle$ ，$g$ 为生成元
陪集
- 陪集：右陪集 $aH={ah|a\in G, h\in H}$, 左陪集 $Ha={ha|a\in G,h\in H}$
- 若$aH\not=bH$, 则 $aH\cap bH=\emptyset$
- $x\in aH\iff aH=xH\iff x^{-1}a\in H$
- $aH\approx H\approx Ha$
- 指标（指数）：$[G:H]=|{aH:a\in G}|=|{Hb:b\in G}|$
- 陪集分拆：$G=\bigsqcup aH$
- 若$aH\not=bH$, 则 $aH\cap bH=\emptyset$
- 拉格朗日定理：$|G|=|H|*[G:H]$
- $\lvert H\rvert\vert\lvert G\rvert$
- 欧拉定理：$n$ 阶群 $G$ 中，$a^{|G|}=e$
- 非 Abel 群最小阶数为 6
- $H\leqslant G,K\leqslant G$
- $K\leqslant H\leqslant G$， $[G:K] = [G:H][H:K]$
- $HK\leqslant G\iff HK=KH$
- $HK$ 是 $[K:H\cap K]$ 个两两不相交的 $H$ 右陪集的并
- $|H||K| = |HK||H\cap K|$
- （Poincare）$[G:H\cap K]\leq [G:H][G:K]$ 等号成立当且仅当$HK=G$
正规子群
- 共轭关系（等价关系）：$x\sim h\iff\forall g\in G, gxg^{-1}=h$
- 正规子群是 $G$ 中共轭类之并
- 中心：$Z(G)$：$\forall h\in Z(G), g\in G, ghg^{-1}=h$
- 只有一个元素的共轭类之并
- $G$ 中所有元素都交换的元素
- 正规子群：$\forall g\in G, gH=Hg$, 则$H\trianglelefteq G$
- 等价定义
- $\forall g\in G$, $gHg^{-1}=H$
- $\forall h\in H, \forall g\in G, ghg^{-1}\in H$
- $H$ 任意两个左陪集的乘积仍是左陪集
- ${e}\trianglelefteq G,G\trianglelefteq G$
- Abel 群的任何子群都是正规子群
- $H\trianglelefteq G, K\leqslant G$, 则$HK=KH\trianglelefteq G$
- $H\leqslant K\leqslant G,H\trianglelefteq G$, 则$H\trianglelefteq K$
- $\cap$ 封闭
- 等价定义
- Factor(quotient) Groups $G/N$: ${aN,a\in G}$ under $(aN)(bN)=abN,N\trianglelefteq G$
- $|G/N|=[G:N]$
- $H$ 在 $G$ 中的正规化子：$N_G(H)={g\in G:gH=Hg}$
- $H$ 在 $G$ 中的正规核：$H_G=\cap_{g\in G}gHg^{-1}$
- 单群：没有非平凡正规子群的群
- 阿贝尔单群即为素数阶循环群
同态与同构
- 同态（homomorphism）：映射 $f:G_1\rightarrow G_2$ 满足 $f(gh)=f(g)f(h)$
- $\sigma(e)=\overline{e}$
- $\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$
- $H_1\leq G_1\Leftrightarrow\sigma(H_1)\leq G_2$
- $G$ 包含 $\text{Ker}(\sigma)$ 的子群与 $\text{Im}(\sigma)$ 的子群一一对应
- $\text{Ker}(\sigma)\leqslant H\leqslant G$，则 $H\trianglelefteq G\iff \sigma(H)\trianglelefteq\sigma(G)$
- $\text{Ker}(\sigma)\leqslant H\trianglelefteq G$，则 $G/H \cong \sigma(G)/\sigma(H)$
- $o(\phi(x))|o(x)$
- 同态像：$\text{Im} \phi={h\in G_2:\exists g\in G_1,f(g)=h}$
- 同态核：$\text{ker} \phi={g\in G_1:f(g)=\overline{e}}$
- 自然同态：$\phi:G\rightarrow G/K$ is $\forall a\in G,\sigma(a)=aK$
- 同态基本定理(First Isomorphism Theorem): $\psi:G\rightarrow H$
- $\text{Im}(\psi)\leqslant H$
- $\text{Ker}(\psi)\trianglelefteq G$
- $G/\text{Ker}(\psi)\cong \text{Im}(\psi):\eta$
- $\psi=\eta\phi$
- 单同态（嵌入映射）：f 为单射
- 满同态：f 为满射
- 自同构：$G$ 到自身的同构
- 同构(Isomorphism): 双射 $f:G_1\rightarrow G_2$ 满足 $f(gh)=f(g)f(h)$
- $G_1\cong G_2$
- $f^{-1}$ is isomorphism
- 同构为所有群集合上的等价关系
- Cayley 定理：任何群 $G$ 同构于一个置换群
- left regular representation: $g\rightarrow \lambda_g$, $\lambda_g:G\rightarrow G,\lambda_g(a)=ga$
- 第一同构定理(Correspondence Thoerem)：$N\trianglelefteq G$
- ${K:K\leq G/N}\leftrightarrow{H:N\leqslant H\leqslant G}$
- $N\leqslant H\leqslant G$, 则$H/N\trianglelefteq G/N \iff H\trianglelefteq G$
- (Third Isomorphism Theorem)$N\leqslant H\trianglelefteq G$，则$(G/N)/(H/N)\cong G/H$
- 第二同构定理：(Second Isomorphism Theorem)
- 已知 $N\trianglelefteq G, H\leqslant G$
- $(H\cap N)\trianglelefteq H$
- $H/(H\cap N)\cong HN/N$
- Dedekind 律：$K\leqslant H\leqslant G$ 且 $L\leqslant G$， 则 $H\cap KL=K(H\cap L)$
- 引理：$K\trianglelefteq H \leqslant G$, $L\leqslant G$
- $(K\cap L)\trianglelefteq (H\cap L), (H\cap L)/(K\cap L) \cong (K(H\cap L)/K)$
- $L\trianglelefteq G$，则 $KL\trianglelefteq HL,K(H\cap L)\trianglelefteq H,HL/KL\cong H/(K(H\cap L))$
- 第三同构定理（Zassenhaus）：$L_1\trianglelefteq H_1\leqslant G,L_2\trianglelefteq H_2\leqslant G$
- $(H_1\cap L_2)L_1\trianglelefteq (H_1\cap H_2)L_1$
- $(H_2\cap L_1)L_2\trianglelefteq (H_1\cap H_2)L_2$
- $(H_1\cap H_2)L_1/(H_1\cap L_2)L_1\cong (H_1\cap H_2)L_2/(H_2\cap L_1)L_2$
直积
- External Direct Products: $G=G_1\times G_2\times \dots\times G_n$
- $(g_1,\cdots,g_n)\in\prod G_i,o(g_i)=r_i,o((g_1,\cdots,g_n))=lcm(g_1,\cdots,g_n)$
- $\prod_{i=1}^k\mathbb{Z}{n_i}\cong\mathbb{Z}{n_1\cdots n_k}\iff\gcd(n_i,n_j)=1$
- $G_i^\star ={\langle e_1,\dots,x,\dots,e_n\rangle:x\in G_i}\cong G_i\unlhd G$
- $G_1^\star G_2^\star \dots G_n^\star =G$
- $G_1^\star \dots G_{i-1}^\star G_{i+1}^\star \dots G_n^\star \cap G_i^\star ={e}$
- 定理：以下三条等价
- $G_1^\star \dots G_{i-1}^\star G_{i+1}^\star \dots G_n^\star \cap G_i^\star ={e}$
- $x\in G$ 至多可以用一种方式表成 $x_1\dots x_n$
- $e=x_1\dots x_n$，必有 $x_1=\dots=x_n=e$
- Cancellation: $G\times K\cong H\times K, |K|<\infty\Rightarrow G\cong K$
- Internal Direct Product: $G=G_1G_2\dots G_n:G_1,\dots,G_n\unlhd G;G_1^\star \dots G_{i-1}^\star G_{i+1}^\star \dots G_n^\star \cap G_i^\star ={e}$
- $H,K\unlhd G$，$|H||K|=|G|,H\cap K={e}$，则 $G\cong H\times K$
- $G/K=H,G/H=K$
- 统称直积
- If $G = H \times K$, then $\exists H’ \simeq H,K’ \simeq K$ such that $G$ is the internal direct product of $H’$ and $K’$.
- If $G$ is internal product of $H$ and $K$ then $G\cong H\times K$
群的例子
数域
- $\mathbb{Q}^\star/\mathbb{R}^\star/\mathbb{C}^\star$ 在通常乘法意义下构成 Abel 群，$\mathbb{Z}$ 在通常加法意义下构成 Abel 群
- $\mathbb{N}$ 在通常乘法加法意义下分别构成幺半群
- 消去律成立，但不是群
- $\mathbb{Z}=\langle 1\rangle$ 在加法意义下构成 Abel 群， 称为整数加群
- 正规子群 $\langle m \rangle = m\mathbb{Z}$ 在整数加法意义下构成 Abel 群
- 商群 $\mathbb{Z}_m=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}={\overline{a}:a\in \mathbb{Z}}$按剩余类的加法构成 $m$阶 Abel 群
- $a$ 模 $m$ 的剩余类：$\overline{a} = a+mZ$
- $U_m={\overline{a}:(a,m)=1}$按剩余类的乘法构成 $\varphi(m)$阶 Abel 群
- $f(x)=|x|$ 为同态，（乘法群）同态核为${\pm 1}$, 商群 $\cong Q^{+}$
- $f(x)=lg(x)/e^x$为乘法群与加法群之间的同构
- $\mathbb{N}$ 在通常乘法加法意义下分别构成幺半群
- $\mathbb{Z}[i] = {a+bi:a,b\in \mathbb{Z}}, \mathbb{Z}[\omega] = {a+b\omega:a,b\in Z}$在复数乘法的意义下分别构成幺半群
- $\forall m\in \mathbb{Z}, S_m={\frac{a}{b}:a,b\in \mathbb{Z},b\not=0,(b,m)=1}$在乘法的意义下构成幺半群
- $S_0=\mathbb{Z}$
- $M_d={x^2+dy^2:x,y\in \mathbb{Z}}$在乘法的意义下构成幺半群
- $U_n={z\in\mathbb{C}:|z|=1}=\langle e^{2\pi i/n}\rangle$ 在复数乘法的意义下构成 n 阶循环群
映射
- 集合 $X$ 到自身映射（变换）的集合在映射复合的意义下为幺半群
对称群
- 置换：双射
- $\sigma\tau(i)=\sigma(\tau(i))$
- 轮换：$l$ 轮换 $\sigma=(a_1a_2\dots a_l):\sigma(x)=a_{(i+1)\bmod l},x=a_i;\sigma(x)=x,o.w.$
- 恒等映射：$l=1$
- 对换：$l=2$
- $l$ 轮换可表为 $l-1$ 个对换
- 两个不相交的轮换$\sigma,\tau,\sigma\tau=\tau\sigma$
- 任意置换总是可以表示为不相关的轮换的复合
- $\sigma$ 写为不相交轮换乘积时，$k$ 轮换个数为 $\lambda_k$，则称 $\sigma$ 的型为 $1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}$
- $\sum_{i=1}^{n}i\lambda_i = n$
- $\sigma$ 写为不相交轮换乘积时，$k$ 轮换个数为 $\lambda_k$，则称 $\sigma$ 的型为 $1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots n^{\lambda_n}$
- 置换奇偶性：
- 偶数（奇数）个对换的乘积为偶（奇）置换
- $N_\sigma$为偶数则为偶置换，否则为奇置换
- $\sigma\in S_n,1\leq i<j\leq n$ 而 $\sigma(i)>\sigma(j)$，则称其为 $\sigma$ 的一个逆序，总逆序数为 $N_\sigma=\vert{\langle i,j\rangle,1\leq i<j<n,\sigma(i)>\sigma(j)}\vert$
- $sgn(\sigma)=(-1)^{N_\sigma}$
- $\prod_{1\leq i<j\leq n}(\sigma(j)-\sigma(i))=sgn(\sigma)\prod_{1\leq i<j\leq n}(i-j)$
- $sgn(\sigma\tau)=sgn(\sigma)sgn(\tau)$
- 置换群（对称群）$S(X)=Sym(X)$:
- $|S_n|=n!$
- $S_3$ 有两个元素生成，非 Abel 群
- $S_3$ 有 6 个子群，$S_4$ 有 30 个子群
- Sym(正方体)=$S_4$
对称群子群
交错群
- 交错群：$A_n={\sigma\in S_n: sgn(\sigma)=1}\unlhd G$
- $S_n/A_n={\pm 1}=C_2$
- $|A_n|=\frac{n!}{2}$
- $A_n(n\geq 5)$ 是单群
- $A_4$ has no subgroup of order 6
- Sym(四面体)=$A_4$, 共 10 个子群
- 9 elements of order 3
- 3 elements of order 2
刚体运动群
- 保持刚体不变的运动在复合意义下构成群
- Dihedral Group（二面体群 ）: $D_n(D_{2n})$
- Group of symmetries of regular n-gon
- $|D_n|=2n$
- consists of all product of $r$ and $s$
- $r^n=1$
- $s^2=1$
- $srs=r^{-1}$
- $D_3\cong S_3$
- $D_n\cong D_{n/2}\times\mathbb{Z}_2,n\geq 6,n=4k+2$
- Every subgroup of $D_n$ is cyclic or dihedral
$$ Z(D_n)=\begin{cases} {e} & 2\not|n \newline {e,r^{n/2}} & 2|n \end{cases} $$
自同构群
- 自同构群 $Aut(G)$：群 $G$ 所有自同构在复合映射意义下构成群
- 有限自同构群 $Aut(G)\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
- 无限自同构群 $Aut(G)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$
- $\varphi:G\rightarrow H$ 为 $G$ 到 $H$ 同构，则 $G$ 到 $H$ 所有同构为 ${\varphi\circ f|f\in Aut(G)}$
- 内同构群 $\text{Inn}(G)$: $\phi_a(g)=aga^{-1}$
- $\text{Inn}(G)\unlhd Aut(G)$
- $G/Z(G)\cong\text{Inn}(G)$
矩阵
- $M_n(R)$ $n$ 阶实方阵在矩阵乘的意义下构成幺半群
- 一般线性群$GL_n(P)$，其子群称为典型群
- 正规子群，特殊线性群$SL_n(P)$
- $f(A) = \det(A)$ 为满同态，同态核为$SL_n(P)$，商群$GL_n/SL_n\cong R^\star $
- 子群，$T_n(F)$为对角线全一的 n 阶上三角阵
- 正交群 $O_n(R)={A\in GL_n(R):A^TA=AA^T=I}$
- 特殊正交群 ${SO}_n(R)=O_n(R)\cap SL_n(R)$
- 酉群：$U(n)={A|\overline{A}^TA=A\overline{A}^T=I}$
- 特殊酉群 $SU(n)=U(n)\cap SL_n(C)$
- $Z(GL_n(F))={xI_n:x\in F}$
- 射影一般线性群 $PGL_n(F)=GL_n/Z(GL_n)$
- $SL_2(Z)/{\pm I_2}=PSL_2(Z)$ 为模群
- 正规子群，特殊线性群$SL_n(P)$
$n$ 阶群
| n | 个数 | 群 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | $\mathbb{Z}_1$ |
| 2 | 1 | $\mathbb{Z}_2$ |
| 3 | 1 | $\mathbb{Z}_3$ |
| 4 | 2 | $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ |
| 5 | 1 | $\mathbb{Z}_5$ |
| 6 | 2 | $\mathbb{Z}_6,D_3(S_3)$ |
| 7 | 1 | $\mathbb{Z}_7$ |
| 8 | 5 | $\mathbb{Z}_8$, $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$, $D_4$, $Q_8$ |
| 12 | 5 | $\mathbb{Z}_12$, $\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}2$, $D_6$, $A_4$, $Dic{12}$ |
- 素数阶群为循环群
- $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$: Klein 四元群
- ${e,a,b,c}$ 在乘法（$a^2=b^2=c^2=e$）意义下构成 Abel 群
- $\sigma(\pm 1/i/j/k)=e/a/b/c$ 为同态
- ${\pm1,\pm i,\pm j,\pm k}$ 在 Hamilton 四元数乘法意义下构成群
- Hamilton 四元数: $a+bi+cj+dk,(a,b,c,d\in R)$, $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$
其它
- $P(\mathbb{Z})$幂集在$\cup(\cap)$的意义下构成幺半群
- 字母表$S$中字母构成的字符串在字符串的拼接意义下构成幺半群
- 等长实数列在卷积的意义下构成幺半群
- 单位元为${1,0,\dots,0}$
- 区间$I$上全体连续函数在函数加法意义下构成Abel 群