电路与电路模型

• 电路：电气器件构成，并具有一定功能

• 电路模型：一个实际电路可以由多个理想元件的组合来模拟，这样的电路称为电路模型

• 电路元件：电路中最基本的组成单元

  • 集总参数：当实际电路的大小远小于电路工作时电磁波的波长时，可以把元件作用集总在一起，用一个或有限个 R,L,C 来表示，这样的电路参数就是集总参数
  • 集总参数元件假定：在任何时候流入二端元件的一个端子的电流一定等于从另一端子流出的电流，两个端子之间的电压值为单值量

• 电流：带电粒子的有序运动形成电流

  • 单位时间通过导体横截面的电荷量称为电流强度简称电流：$\frac{dq}{dt}$
  • 电流的大小和方向都不随时间改变，称为直流电流
  • 习惯上把正电荷移动的方向规定为电流的方向

• 电压：电路中任意两点之间的电压等于这两点之间的电位差，等于单位正电荷有 A 点经任意路径到达 B 点时，该电荷获得或失去的能量 $\frac{dw}{dq}$

  • 习惯上把电位下降的方向规定为电压方向

• （非）关联参考方向：电流方向和电压方向（不）一致

• 电功率：$w=\int^{q(t)}_{q(t_0)}udq=\int_0^t u(t)i(t)dt$

  • 当$U，I$为关联参考方向时，$p=ui>0$表示元件吸收功率，若$p=ui<0$则表示元件释放功率
  • 当$U，I$为非关联参考方向时，$p=ui>0$表示元件释放功率，若$p=ui<0$则表示元件吸收功率

• 电阻：（电导）$S=1/\Omega$

  • 线性电阻：在电压和电流取关联参考方向时，在任何时候它两端的电压和经过它的电流服从欧姆定律

• 电容：$q=Cu$，单位 $F$ 法拉

  • 库夫特性：$C=\frac{q}{u}$
  • 电容阻断直流电：$i=C\frac{du}{dt}$
  • 电容吸收的能量以电场能量的形式储存在元件中，电容是储能元件，不产生能量，无源元件

• 电感：磁通 $\Phi_L$ （韦伯，Wb），磁通链 $\Psi_L=n\Phi_L$。线性非时变电感元件 $\Phi_L=Li(t)$，$L$ 自感/电感，单位 $H$ 亨利

  • 电磁感应定律 $u=\frac{d\Psi_L}{dt}$
  • 吸收的能量以磁场能量的形式储存在元件中,所以电感元件是储能元件。不会释放出多于吸收或储存的能量，电感是无源元件

• 电压源：理想电路元件，端电压与时间相关与外部电路无关。电流大小由外电路决定

• 电流源：理想电路元件，电流和时间相关与外电路无关，端电压由外电路决定

  电压源和电流源作为电源或者输入信号,在电路中起激励作用,在电路中产生的电流和电压就是响应,这类电源被称为独立电源

• 受控源：受到电路中的电压或电流控制,称为”非独立”电源

• 基尔霍夫定律

  • 支路: 组成电路的每一个二端元件都是一条支路.
  • 节点: 支路连接的地方称为节点
  • 回路: 由支路构成的闭合路径称为回路
  • 基尔霍夫电流定律(KCL): 在集总电路中,任何时刻,对于任意节点,所有流出节点的支路的电流的代数和为 0,流出节点支路的电流取’+’,流入取’-‘. 这个定律是电荷守恒的体现
  • 电流的连续性：流入一个闭合回路的电流之和等于流出这个回路的电流之和
  • 基尔霍夫电压定律(KVL): 在集总电路中,任何时刻,沿任意一回路所有支路的电压的代数和为 0. 取和时先规定一个方向,电压方向与这个方向相同则取’+’否则取’-‘

电路分析

等效电路

• 对电路的一部分进行简化,将简化后的部分代替原来的部分,使得整个电路的电流和电压的相互关系不变,这两部分互为等效电路
• 电阻的串并联
• 电压源的串联：电压源的并联只有在电压相等且极性一致的情况下才可以换成一个
• 电流源的并联：电流源的串联只有在电流值相等且方向相同情况下才可以换成一个
• 实际电压源和实际电流源模型之间可以相互转化,主要是保证端口处的电压和电流关系不变

输入电阻

• 对于不含有独立电源的电路,输入电阻为$R_{in}=u_{i}$,即这部分电路端口电压和流入该电路中的电流的比值.
• 对于含有受控源的电路: 采用外加电压或者电流的方式求解输入电阻

电路的图

• 线图: 用线段表示每一个元件为一个支路,线段的端点为结点,用点和线表现电路的拓扑结构.
• 树：包含图的全部结点和部分支路，本身连通，不含回路。
• 在树中的支路叫做树支，不在树中的支路叫做连支。n 个结点，b 条支路，则一共有 n-1 条树支，b-n+1 条连支。
• KCL 和 KVL 的独立方程数：KCL 独立方程数为 n-1,KVL 的独立方程数为 b-n+1.(网孔数量)

支路电流法

• 将 b 条支路上的电流当作变量，然后利用 kvl 和 kcl 一共 b 个独立方程来求解
  • 选定各支路上参考电流的方向
  • 选择 n-1 个独立结点列出 kcl 方程
  • 选择 b-n+1 个独立回路列出 kvl 方程
  • 联立求解

叠加定理

一个具有唯一解的线性电阻电路，任意一处的电压或电流是各个独立电源单独作用时在该处产生的电压或电流的叠加.(单独作用是电压源当作短路，电流源当作开路)

• 功率不是关于电压或电流的一次函数，因此不能用叠加定理来计算功率
• 齐次定理：当电路中所有的激励同时增大或缩小 $N$ 倍，整个电路的响应也相应增大或缩小 $N$ 倍
• 线性电路：若一个电路满足叠加性和齐次性，则称该电路为线性电路，反之线性电路满足叠加性和齐次性。激励 $x_1,x_2$，响应 $y_1,y_2$ 则如果激励为 $ax_1+bx_2$ 则响应为 $ay_1+by_2$

替代定理

电路中，如果已知第 $k$ 条支路的 $U,I$ 分别是 $U_k,I_k$,则该支路可以用 $U=U_k$ 的电压源或者 $I=I_k$ 的电流源替代。(如果第 $k$ 条支路中有其他支路受控源的控制量，则不能被替代)

• 戴维宁定理：一个含有独立电源，线性电阻和受控源的一端口，对于外电路来说，可以用一个电压源串联一个电阻替代，电压源的电压等于端口电压 $U_{oc}$，电阻等于将该电路中所有独立电源置为 $0$ 时的电阻 $R_i$
• 诺顿定理：一个含有独立电源，线性电阻和受控源的二端网络，对于外电路来说可以用一个电流源并联一个电导替代，电流源的电流等于该电路短路电流，电导等于将该电路中所有独立电源置为 0 时的电导
• 在 $R_i=0$ 时只能做戴维宁等效，在 $R_i=\infty$ 时，只能做诺顿等效。

动态电路

• 动态电路：动态元件电容和电感的电路
  • 当电路状态发生改变即(换路时)，电路需要一段过渡期才达到新的稳定状态
  • 过渡过程产生的原因：电路内部含有储能元件$L，C$，换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要经过一段时间
• 一阶电路：含有一个动态元件的线性电路，其电路方程为 一阶线性常微分方程
• 二阶电路：含有二个动态元件的线性电路，其电路方程为二阶线性常微分方程
• 换路定律
  • 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
  • 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
• 对电容元件：
  • 如果 $u_c(0_+)=u_c(0_−)=U$,则换路瞬间可以把电容视为一个电压为 $U$ 的电压源。
  • 如果 $u_c(0_+)=u_c(0_−)=0$,则换路瞬间可以认为电容短路
• 对电感元件
  • 如果 $i_L(0_+)=i_L(0_−)=I$，则换路瞬间可以把电感视为一个电流为 $I$ 的电流源。
  • 如果 $i_L(0_+)=i_L(0_−)=0$，则换路瞬间可以把电感视为开路。

正弦电路

• 正弦量

  $$i(t)=I_m\cos(\omega t+\psi)$$

• 正弦电路：激励和响应均为同频率的正弦量的电路称为正弦电路

• 频谱：将一个信号分解为各个不同频率的正弦信号的集合，得到其正弦信号幅度随角频率的变化的分布，称为该信号的频谱

• 正弦电路有效值：$I=\frac{I_m}{\sqrt{2}},U=\frac{U_m}{\sqrt{2}}$

• 铭牌额定值，电网电压等级，交流表测量仪等一般都是值有效值，而像绝缘水平和耐压值一般指的是最大值

功率

• 瞬时功率：$p=ui=UI\cos\varphi(1-\cos 2\omega t)-UI\sin\varphi\sin 2\omega t$
  • 不可逆分量：恒为正的部分，是内部所有电阻的功耗
  • 可逆分量：时正时负的部分，说明端口和电源之间有能量交换
• 平均功率：$P=\frac{1}{T}\int_0^T pdt$
  • 若 $u(t)=\sqrt{2}U\sin(\omega t),i(t)=\sqrt{2}I\sin(\omega t+\psi)$，则平均功率为 $P=UI\cos\psi$
  • 功率因数角：$\psi=\Psi_U-\Psi_I$
• 功率因数：$\cos\psi$
  • $\cos\psi=1$：纯电阻
  • $\cos\psi=0$：纯电抗
  • 平均功率即有功功率，实际上是电阻消耗的功率
  • 无功功率：$Q=UI\sin\psi$，交换功率最大值，单位 var（乏）
  • 视在功率：$S=UI$，反映了源一端口的做工能力，反映电器设备的容量
  • $S=\sqrt{Q^2+P^2}$