交换

• （非负整数幂的）矩阵多项式: $f(A)=\sum_{i=0}^ka_iA^i$
  • 乘法交换律: $f(A)g(A)=g(A)f(A)$
• 若$A$可逆，$A^{-k} = (A^{-1})^k$
• $A^{n_1+n_2}=A^{n_1}A^{n_2},n_1,n_2\in\mathbb{Z}$
• 矩阵多项式：$f(A)=\sum_ia_ix^i$
  • 若$A$可逆，则有乘法交换律
• $A$与$B$交换：$AB=BA$
  • $A$与$B_i$交换，则$A$与$\prod B$交换
  • $A$与$B_i$交换，则$A$与$\sum B$交换
  • $A_i$与$B_i$两两交换，则
    • $(\prod A_i)(\prod B_i) = (\prod B_i)(\prod A_i)$
    • $(\sum A_i)(\sum B_i) = (\sum B_i)(\sum A_i)$
  • $A$与$B$交换，$B$可逆，则$A$与$B^{-1}$交换
  • $A$与$A^T$未必交换

线性映射的考察

• 转置$\ ^T$为线性映射
• tr()为线性映射
• $\det()$为线性映射$\iff n=1$

杂

• 如下四结论等价：
  • $A$可逆
  • $AX=0$有唯一解
  • $\forall b\in\mathbb{F}$, $AX=b$ 有唯一解
  • $\exists b\in\mathbb{F}$, $AX=b$ 有唯一解