交换

• （非负整数幂的）矩阵多项式: $f(A)=\sum _{i=0}^k{a}_i{A}^i$
  • 乘法交换律: $f(A)g(A)=g(A)f(A)$
• 若$A$可逆，$A^{-k}=(A^{-1}{)}^k$
• $A^{n_1+n_2}=A^{n_1}{A}^{n_2},n_1,n_2\in \mathbb{Z}$
• 矩阵多项式：$f(A)=\sum _i{a}_i{x}^i$
  • 若$A$可逆，则有乘法交换律
• $A$与$B$交换：$AB=BA$
  • $A$与$B_i$交换，则$A$与$\prod B$交换
  • $A$与$B_i$交换，则$A$与$\sum B$交换
  • $A_i$与$B_i$两两交换，则
    • $(\prod A_i)(\prod B_i)=(\prod B_i)(\prod A_i)$
    • $(\sum A_i)(\sum B_i)=(\sum B_i)(\sum A_i)$
  • $A$与$B$交换，$B$可逆，则$A$与$B^{-1}$交换
  • $A$与$A^T$未必交换

线性映射的考察

• 转置${}^T$为线性映射
• tr()为线性映射
• $det()$为线性映射$⟺n=1$

杂

• 如下四结论等价：
  • $A$可逆
  • $AX=0$有唯一解
  • $\mathrm{\forall }b\in \mathbb{F}$, $AX=b$ 有唯一解
  • $\mathrm{\exists }b\in \mathbb{F}$, $AX=b$ 有唯一解