特征值与特征向量

• 相似: 存在可逆阵$Q$, $B=Q^{-1}AQ$
• 特征值与特征向量
• 特征多项式：$P(\lambda) = \det(\lambda I-A)$
• $\sum(\lambda)=tr(A)$, $\prod(\lambda)=\det(A)$
• 特征子空间：$V_{\lambda_i}={\lambda_i的特征向量}\cup{0}$
• $\lambda$为$A$的特征值，$X$为$A$属于$\lambda$的特征向量。$f(t)=\sum_{j=0}^ka_jt^j$, $f(\lambda)$为$f(A)$的特征值，$X$为属于$f(\lambda)$的特征向量
• 求特征值与特征向量
  • $P(\lambda)=0$求特征值
  • 检验
  • 对每个特征值，高斯消元求解基础解系，得特征子空间 L()

对角化

• 可对角化：$\exist Q,Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$
• $Q^{-1}AQ=diag{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$ iff $\forall i$, $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$
• 属于不同特征值的特征向量线性无关
• 代数重数：$P(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}\dots(\lambda-\lambda_k)^{n_k}$, $n_i$ 为$i$的代数重数
• 几何重数：$\dim{V_{\lambda_i}}$
• $1\leq$几何重数$\leq$代数重数
• $A$可对角化$\iff$所有特征值代数重数等于几何重数
• 对角化
  • $P(\lambda)=0$求特征值与其代数重数
  • 检验
  • 对每个特征值，高斯消元求解基础解系，得特征子空间的基和几何重数
  • 判断几何重数=代数重数
  • 若可对角化，令 Q=[$e_1,\dots,e_n$], $Q^{-1}AQ=diag{\lambda_1,\dots,\lambda_n}$
• 已知$\lambda,|\lambda I-A|$; 已知$X$，$AX=\lambda X$
• $A\sim B\iff (A+I)\sim (B+I)$

二次型

• 二次型：$\mathbb{F}^n$上的二次齐次 n 元多项式$f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}x_i^2+\sum_{i<j}2a_{ij}x_ix_j$为二次型。
• 令$X=[x_1,\dots,x_n]^T$, 则$f(x_1,\dots,x_n)=X^TAX$
• $A$对称，$C$可逆，则$A$与$C^TAC$合同
• 合同规范型: $$ \left[\begin{matrix} I_k & 0 & 0\newline 0 & -I_s & 0\newline 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] $$
• 化为合同规范型
  • 做矩阵,其中 D 为对角阵 $$\left[ \begin{matrix} A\newline I \end{matrix}\right] \rightarrow \left[ \begin{matrix} D\newline C_1 \end{matrix}\right]$$
  • 分三类考虑
    • 第一行与第一列均为 0, 则考虑下一层
    • $a_{11}=0$, $\exist j, a_{1j}=a_{j1}\not= 0$
      • $a_{jj}\not=0$ 做变换$r_1\leftrightarrow r_j,c_1\leftrightarrow c_j$
      • $a_{jj}=0$ 做变换 $r_1+r_j\rightarrow r_1,c_1+c_j\rightarrow c_1$
    • $a_{11}\not= 0$, 做行高斯消元与列高斯消元，用$a_{11}$将$j>1$的$a_{1j},a_{j1}$消去（共$2*(j-1)$次）
  • 得$C_1^TAC_1=D$
  • 将对角型$D$用对换和$\frac{1}{\sqrt{|a_{ii}|}}r_i\rightarrow r_i,\frac{1}{\sqrt{|a_{ii}|}}c_i\rightarrow c_i$化为规范型，得 $$ C^TAC=\left[\begin{matrix} I_k & 0 & 0\newline 0 & -I_s & 0\newline 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] $$
• $k$ 为 A 的正惯性指数，$s$为负惯性指数，$k-s$为符号差
• 实对称矩阵$A$的合同规范型是唯一的，进而正负惯性指数和符号差唯一，但可逆阵$C$不唯一
• $A$与$B$合同，则有相同的合同规范型
• $rank(A)=k+s$
• 令$X=CY$, 则$f(x_1,\dots,x_n)=Y^T(C^TAC)Y=g(y_1,\dots,y_n)$, g 为 f 的规范型

正定

• 半正定：$\forall X\in\mathbb{R}^n$, $X^TAX\geq 0$
• 实对称矩阵正定条件：
  • $\forall X\in\mathbb{R}^n,X\not=0$, $X^TAX>0$
  • $\forall i,\lambda_i>0$
  • $\exist R,|R|\not=0,A=R^TR$
  • 顺序主子式皆为正
• 若$A$是实对称矩阵，则$A$半正定$\iff$ $-A$半负定$\iff$ $A$的负惯性指数为 0， $A$正定$\iff -A$负定$\iff\ A$的合同规范性为$I$ $\iff$ $A$的顺序主子式皆为正
• $A$负定$\iff$ $A$的顺序主子式与$(-1)^k$同号
• 顺序主子式不小于 0 得不到半正定
• $A$与$B$合同，且为实对称矩阵，则同正定或半正定
• $k$阶顺序主子阵：$A_k$
• $k$阶顺序主子式：$\det(A_k)$
• Hesse 阵：$f$在$p$处的黑塞阵为$H(f,p)=(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p))$
  • $H(f,p)$正定，则$p$为极小值点
  • $H(f,p)$可逆但既不正定又不负定，则$p$不是极值点
• 正定矩阵与半正定矩阵之和为正定矩阵

实对称阵

• 对称矩阵：$A=A^T$
• $A^{*}=\overline{A}^\top$
  • $(A+B)^{} = A^{} + B^{*}$
  • $(kA)^{} = \overline{k}A^{}$
  • $(AB)^*=B^A^$
  • $(A^)^ = A$
  • $X^*X\geq0$
• 实对称阵的特征值$\lambda\in\mathbb{R}^n$
• 实对称阵可对角化
• 实对称阵$A$不同特征值$\lambda_1,\lambda_2$，则其属特征向量$X_1\perp X_2$
• 正交对角化：$A^T=A$则存在正交阵$Q$，$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=D$，$D$为对角阵
• 正交对角化：
  • 解得特征值
  • 特征值对应特征向量的基
  • Schmidt 正交化，$Q=[e_1,\dots,e_n]$