线性空间

• 线性空间
  • 加法
    • 交换律
    • 结合律
    • 零元素
    • 负元素
  • 乘法
    • 单位元素
    • 结合律
    • 分配率 1
    • 分配率 2
  • 注：
    • 检验加法、数乘是否封闭
    • 检验 0 元素存在
    • 检验负元素存在
• 极大线性无关组
  • 线性无关
  • 加入任意其余向量，均线性相关
  • 求极大线性无关组
    • $[a_i]->[b_i]$
    • $[b_j]$线性无关$\Rightarrow [a_j]$线性无关
    • $b_t=\sum{k_jb_j}\Rightarrow a_t=\sum{k_ja_j}$
  • 两个线性无关组$\alpha,\beta$正交($\alpha^T\beta=0$)则$\alpha,\beta$为线性无关组。
• 坐标：
  • $\alpha = \sum_{i=1}^nx_ie_i$记为$\alpha=(e_1,\cdots,e_n)(x_1,\cdots,x_n)^T$
• 过渡矩阵
  • 从$\beta_1,\cdots,\beta_m$到$\alpha_1,\cdots,\alpha_m$的过渡矩阵 A: $(\alpha_1,\cdots,\alpha_m) =(\beta_1,\cdots,\beta_m)A$
  • 坐标变换: $X=A^{-1}Y$
  • 求过渡矩阵
    • $[B|C]\rightarrow[I|A]$

子空间

• 判别条件
  • 非空
  • 加法封闭
  • 数乘封闭
• 子空间交$W_1\cap W_2$也是子空间
• 子空间并不一定是子空间
• 子空间和$W_1+W_2={\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in W_1,\alpha_2 \in W_2}$也是子空间
• 直和：$V=W_1+W_2$,若$\forall \alpha\in V$有唯一分解$\alpha=\beta_1+\beta_2$, 则$V=W_1\oplus W_2$
  • 以下三命题等价：
    • $V=W_1\oplus W_2$
    • $W_1\cap W_2={0}$
    • $0\in V$ 有唯一分解
    • $\dim(V) = \dim(W_1) + \dim(W_2)$
  • $V=W_1\oplus W_2$ 则$W_1$的基和$W_2$的基合并为$V$的基
• 维数公式：$\dim(W_1\cap W_2)+\dim(W_1+W_2)=\dim(W_1)+\dim(W_2)$

线性映射

• 线性映射$\mathbb{A}:V_1\rightarrow V_2$:
  • $\mathbb{A}(\alpha+\beta)=\mathbb{A}(\alpha)+\mathbb{A}(\beta)$
  • $\mathbb{A}(k\alpha) = k\mathbb{A}(\alpha)$
• $\mathbb{A}\circ\mathbb{B}$ 亦为线性映射
• 线性映射$\mathbb{A}$关于基$e_1,\dots,e_n$与$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$的表示矩阵 A: $\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$ 到$\mathbb{A}(e_1,\dots,e_n)$ 的过渡矩阵
• 线性算子在$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$下的表示矩阵为$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$到$\mathbb{A}(\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)$下的表示矩阵
• $\alpha\in V_1$ 关于$e_1,\dots,e_n$的坐标为$X$,则$\mathbb{A}(\alpha)$关于$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$的坐标为$AX$
• 线性算子（线性变换）$\mathbb{A}: V\rightarrow V$

欧式空间

• 内积
  • $<a,b>=<b,a>$
  • $<a_1+a_2,b>=<a_1,b>+<a_2,b>$
  • $<ka,b>=k<a,b>$
  • $<a,a>\geq0$
• 范数: $||\alpha||=\sqrt{<\alpha,\alpha>}$
  • $||k\alpha||=k||\alpha||$
• Cauchy-Sohwarz Inequality: $|<\alpha, \beta>|\leq||\alpha||||\beta||$
  • 等号成立：$\alpha,\beta$线性相关
  • 三角不等式： $||\alpha+\beta||\leq||\alpha||+||\beta||$
  • 等号成立当且仅当同向
• 余弦定理：$||X-Y||^2=||X||^2+||Y||^2-2||X||||Y||\cos\theta$
  • $<X,Y>=||X||||Y||\cos\theta$
  • $\cos\theta=\frac{<\alpha,\beta>}{||\alpha||||\beta||}\in(0,\pi)$
• 正交：$\alpha\in V,\beta\in V, <\alpha, \beta>=0$
• 勾股定理：$||\sum_{i=1}^k\alpha_i||^2=\sum_{i=1}^k||\alpha_i||^2$
• 度量矩阵：$A=(<e_i, e_j>)\in M_{n*n}$ 关于$e_1,\dots,e_n$的度量矩阵, 对称正定
• $<\alpha, \beta>=X^TAY$
• 正交向量组线性无关
• 向量$\alpha$的单位化：$\frac{\alpha}{||\alpha||}$
• 正规基：正交基$e_1,\dots,e_n$有$||e_i||=1$
• 正交基度量矩阵为对角阵，对角元为正
• 正规基度量矩阵为 I
• Schmidt 正交化
  • $\beta_k=\alpha_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{\langle\alpha_k,\beta_i\rangle}{\langle\beta_i,\beta_i\rangle}\beta_i$
  • $e_k=\frac{\beta_k}{||\beta_k||}$
• 正交算子（正交变化、保距变换）： 线性算子$\mathbb{A}$, $\langle\mathbb{A}\alpha,\mathbb{A}\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle$
• 正交$\iff$ $||\mathbb{A}\alpha||=||\alpha||$ $\iff$ 正规基在$\mathbb{A}$下仍是正规基
• 正交阵：$A^T=A^{-1}$
• $\mathbb{A}$在正规基下的表示矩阵为$A$，则$\mathbb{A}$为正交算子$\iff$正交阵
• 正交阵$A,B$，$A^T(A+B)B^T=(A+B)^T$