RETURN

矩阵运算

  • 可逆：$AB=BA=I$
    • 求矩阵的逆
      • $[A|I]\rightarrow[I|A^{-1}]$
      • 有零行，不可逆
  • trace: $tr(A)=\sum_{i=1}^na_{ii}$

行列变换

  • 分块矩阵
  • 初等行列变换
    • 初等阵
      • $P(i,j)$
      • $P(j,i(k))$
      • $P(i(k))$
    • 对 A 作 k 个初等变换得到 B
      • $B=AQ_1Q_2\cdots Q_k$

秩

  • 行秩=列秩
  • $rank(A_{m*n})\leq min(m,n)$
  • $rank(PA)\leq rank(A)$ 取等 if P 可逆
  • $rank(AQ)\leq rank(A)$ 取等 if Q 可逆
  • 求秩: 高斯消元
  • 可逆$\Leftrightarrow$满秩
  • 线性方程组可解$\Leftrightarrow$$rank(A)=rank([A|b])$
  • $null(A) = dimH$
  • $rank(A) + null(A) = n$
  • 子阵：A 的某$k$行与某$l$列的交点，得$k*l$子阵
    • 若$rank(A)\geq k$,则$\exist B$为$A$的 k 阶子方阵且$B$可逆
    • 若$rank(A)<l$,则$\forall B$为$A$的 l 阶子方阵且$B$不可逆

行列式

  • 排列

    • 逆序数：$\tau(P)$
    • 排列的奇偶性与变为自然排列所需对换的奇偶性相同

  • $\det(A) = \sum_{(j_1,j_2,\cdots,j_n)}(-1)^{\tau(j_1,j_2,\cdots,j_n)}a_{1j_1}a_{1j_2}\cdots a_{nj_n}$

  • 外积

    • 分配律
    • 数乘提取
    • 对换为负
      • 外积运算：结合律
    • $a_1\wedge\cdots\wedge a_m=0\Leftrightarrow$线性相关

  • 方阵可逆$\Leftrightarrow|A|\not=0$

  • 矩阵基础变化的影响

    • $r_i\leftrightarrow r_j$ : -1
    • $kr_i + r_j \rightarrow r_j$ : no change
    • $kr_i \rightarrow r_i$ : k

  • 上三角矩阵： $|A| = \prod_{i=1}^na_{ii}$

  • $\det(BC)=\det(B)\det(C)$

  • $|AB|=|BA|$

  • $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

  • 行列式计算 高斯消元化为上三角阵

  • $$ \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \newline 0 & B_{22} \end{bmatrix} $$

    则 $\det(B)=\det(B_{11})\det(B_{22})$

  • $$ \begin{bmatrix} 0 & B_{12} \newline B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $$

    则 $\det(B)=(-1)^{mn}\det(B_{12})\det(B_{21})$

  • 代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i+j}\det(R_{ij})$,其中$R_{ij}$为 A 删去第 i 行第 j 列得到的(n-1)阶方阵 （余子阵）

    • |A|展开： $|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}$

  • $\sum a_{ik}A_{jk}=|A|,i=j$; $0,i \not= j$

  • 伴随阵 求伴随阵

$$ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \newline A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \newline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \newline A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} $$

  • $A^A=AA^=\det(A)*I$
  • $\det(A)\not=0$时，$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A^*$
  • rank($A$) rank($A^*$)
    n n
    n-1 1
    <n-1 0
  • $|xI|=x^n$
  • 求二阶方阵的逆
  • $|A+B|=|A^{-1}+B^{-1}|=|A(A^{-1}+B^{-1})B|$
  • $|A|\neq0\iff rank(A)=n$

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \newline 0 & 1 \end{bmatrix} ^n= \begin{bmatrix} 1 & n \newline 0 & 1 \end{bmatrix} $$

  • $(\alpha\beta^T)^n=C(\alpha\beta^T)$