Guass 消元

• 数域：$\mathbb{F}\in\mathbb{C}$
  • $0\in\mathbb{F},1\in\mathbb{f}$
  • $\forall a,b\in\mathbb{F},a\pm b\in\mathbb{F}, ab\in{F},\frac{a}{b}\in\mathbb{F}(b \not=0)$
• 矩阵$A=(a_{ij})_{mn}$
  • 阶数 $m*n$
  • 方程组的增广矩阵

$$ \left[ \begin{matrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} & | &b_1\newline \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots\newline a_{n1} & \cdots & a_{n1} & | & b_n \end{matrix} \right] \tag{3} $$

• 矩阵三初等行变换
  • $r_i\leftrightarrow r_j$
  • $kr_i + r_j \rightarrow r_j$
  • $kr_i \rightarrow r_i$
• 梯阵
  • 若有零行在底
  • 主元（某行从左向右第一非零元）为 1
  • 主元列指标随 i 严格递增
• 约化行梯阵
  • 某一列有行主元则其余元素为 0 的梯阵
• 高斯消元
• $N=(\alpha_i)$为基础解系，则$X=Ny$
• $AX=0$, 解空间与原空间垂直

线性空间

• 线性空间：$\mathbb{F}^n,\mathbb{F}_n$
• 线性无关
  • $\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i=0$,则$k_i=0$
  • 线性相关的延长组线性相关，线性无关的缩短组线性无关
• 线性表示
  • $\beta=\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i$
  • 线性相关$\Leftrightarrow$任一向量可由其它线性表示
  • $\alpha_1,\cdots,\alpha_l$线性无关，可由$\beta_1,\cdots,\beta_m$线性表示，则$l\leq m$
• $\mathbb{F}^n$的基
  • 线性无关
  • 生成$\mathbb{F}$
  • (三选一)个数等于维数
• 维数：基的个数$dim\mathbb{F}$
• 子空间：
  • 非空子集为子空间当且仅当其对加、数乘封闭
  • 生成子空间

线性方程组的解之结构

• 齐次线性方程组：记方程的解系为$H$,为$\mathbb{F}$子空间，H 的基为基础解系。以未知数$x_{j_1},\cdots,x_{j_p}$为参数，令其中一个为 1 其余为零得到的$X_1,\cdots,X_p$为基础解系
• 仿射空间：$\alpha+W$
  • 仿射空间关系：重合或不交
• 方程组解的关系
  • 若$Y,Z$为方程$AX=b$的解，则$Y-Z$为方程$AX=0$的解
  • 若$Y$为$AX=b$的解，$X$为$AX=0$的解，则$X+Y$为$AX=b$的解
    • 若$AX=b$的解集为$S$,$AX=b$的解集为$H$，$Y\in S$, 则$S=Y+H$。 若$b=0$，则$S\cap H=\emptyset$
  • $Y$为$AX=b$特解，$X$为$AX=0$的通解，则$Y+X$为$AX=b$的通解