基本概念
- 上界（下界）：$\exists M\in\mathbb{R},\forall x\in E,x\leq M$
- $\sup E(\inf E)$: 上界中最小值
- 无上界：$\sup E=+\infty$
- $\max(\min)$：$x_0\in E,\forall x\in E,x_0\geq x$
- $x$ 的 $\delta$-邻域：$U(x;\delta)=(x-\delta,x+\delta)$
- $x$ 的 $\delta$-去心邻域：$\check{U}(x;\delta)\backslash{x}$
- 聚点：$E\subseteq\mathbb{R},x\in\mathbb{R},\forall\delta>0,\check{U}(x;\delta)\cap E\not=\emptyset$
- 孤立点：$E\subseteq\mathbb{R},x_0\in E,x_0$ 非 $E$ 的聚点
- $E$ 中点为聚点或孤立点
- 内点：$E\subseteq\mathbb{R},x_0\in\mathbb{R},\exists\delta>0,U(x_0;\delta)\subseteq E$
- 开集：$E\subseteq\mathbb{R}$, $E$ 的点皆为 $E$ 的内点
- 凸性：$\forall x\in I,\forall y\in I$, 连接$x$与$y$的线段含于 $I$
- 闭集：$\mathbb{R}\backslash E$ 为开集
- 有上界的非空闭子集有最大值
- 紧集：有界闭集（紧性）
- $f$ 为连续函数，$\mathfrak{D}_f$ 为有界闭集，$\mathfrak{R}_f$ 为有界闭集
- 映射：$f:X\rightarrow Y$
- 定义域：$\mathfrak{D}_f=X$
- 上域：$Y$
- 值域（象）：$\mathfrak{R}=f(X)$
- 复合 $g\circ f$
- 限制 $f|_{X_1}$
- 延拓
- 函数 $f:E\rightarrow \mathbb{R}$
- 图：$\mathcal{G}_f={(x,f(x))|x\in E}$
- 基本初等函数
- 常函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
- 初等函数：由基本初等函数出发，有限次四则运算和复合得到
- $x^a=e^{a\ln x}$
- 极值：$x_0\in\mathfrak{D},\exists\delta>0,\forall x\in U(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D},f(x)\leq f(x_0)(f(x)\geq f(x_0)$
- 临界点：$x_0$ 为内点且 $f’(x_0)=0$
- 单调性
- 凸函数:$\forall x_1\in I,\forall x_2\in I,\forall\lambda\in[0,1]$ 有 $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
- $f’$ 增
- Euler 公式：$e^{x+i\theta}=e^x(\cos\theta+i\sin\theta)$
- $\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n=\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}e$
- Stirling 公式：$n!\sim \sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$
| 反三角函数 | $\mathfrak{D}_f$ | $\mathfrak{R}_f$ | 导数 |
|---|---|---|---|
| $\arcsin$ | $[-1,1]$ | $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arccos$ | $[-1,1]$ | $[0,\pi]$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan$ | $\mathbb{R}$ | $(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
定理
- 确界定理：非空有上界集合有上确界
- 单调有界定理：${x_n}$ 单调增数列且有上界，则其收敛于上确界
- Cauchy 准则：${a_k}$ 收敛 $\iff\forall\epsilon>0,\exists N,\forall m>N,\forall n>N,|a_m-a_n|<\epsilon$
- Heine 定理：$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\forall{x_n}\subseteq\mathfrak{D}f\backslash{x_0}$ s.t. $\lim{x\rightarrow +\infty}x_n=x_0$ 有 $\lim_{n\rightarrow+\infty}f(x_n)=A$
- Cauchy 准则：$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f,\forall x_2\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$
- 单调有界定理：$f(x)$ 单调增有上界，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\sup f$
- 实数稠密性：$V$ 为 $\mathbb{R}$ 的非空开子集，则 $V$ 中含有无限个有理数与无限个无理数
- 介值定理：$f$ 为连续函数，$\mathfrak{D}_f$ 为区间或单电集，$A\in\mathfrak{R}_f,B\in\mathfrak{R}_f,C$ 在两者间，则 $\exists\xi\in\mathfrak{D},f(\xi)=C$
- 路连通性：$f$ 为连续函数，$\mathfrak{D}_k$ 为区间为单点集，则$\mathfrak{R}_f$ 为区间或单点集
- Fermat 定理：$x_0$ 为极值点且为内点，$f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $x_0$ 为临界点
极限
- $\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=A$: ${x_n},A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall n>N$ 有 $|x_n-A|<\epsilon$
- ${x_n}$ 收敛
- 唯一性
- 有界性：${x_n}$ 收敛则 $\exists M\in\mathbb{R},|x_n|\leq M$
- 保序性：$\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=A>B$ 则 $\exists N,\forall n>N,x_n>B$
- 迫敛性：$x_n\leq y_n\leq z_n,\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=\lim_{n\rightarrow+\infty} z_n=A$, 则 $\lim_{n\rightarrow+\infty} y_n=A$
- 四则运算
- 子列收敛于相同极限
- $\lim_{n\rightarrow+\infty} x_n=+\infty$: ${x_n},\forall M\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall n>N$ 有 $x_n\geq M$
- ${x_n}$ 无穷极限
- $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$: $x_0$ 为 $\mathfrak{D}_f$ 聚点，$A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$
- 唯一性
- 局部性：$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\rightarrow x_0}f|_{U(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f}(x)=A$
- 局部有界性
- 局部保序性
- 迫敛性
- 变量代换
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$: $\forall x\in\mathfrak{D}_f\cap[N,+\infty]\not=\emptyset,A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall x\in\mathfrak{D}_f\cap[N,+\infty]$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$
- $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty$: $x_0$ 为聚点，$\forall M\in\mathbb{R},\exists\delta>0,\forall x\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $f(x)>M$
- $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A$: $\forall\sigma>0,(x_0,x_0+\sigma)\cap\mathfrak{D}_f\not=\emptyset,A\in\mathbb{R},\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in(x_0,x_0+\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|f(x)-A|<\epsilon$
- $\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A\iff\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$
- $x\rightarrow x_0$ 时，$f(x)$ 为无穷小量：$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0$
- $x\rightarrow x_0$ 时，$f(x)$ 为无穷大量：$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty$
- $f(x)=o(g(x)),(x\rightarrow x_0)$
- $f,g$ 定义域相同，$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=0,\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，则 $x\rightarrow x_0$ 时，$f$ 为 $g$ 的高阶无穷小，$g$ 为 $f$ 的低阶无穷小
- $f(x)=O(g(x)),(x\rightarrow x_0)$
- $f,g$ 定义域相同，$x_0$ 为定义域的聚点，$\exists M\in\mathbb{R},\exists\delta>0,\forall x\in\check{U}(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|\frac{f(x)}{g(x)}|\leq M$
连续
- $f$ 在 $x_0$ 处连续：$x_0\in\mathfrak{D}_f,\forall\epsilon>0,\exists x\in U(x_0;\delta)\cap\mathfrak{D}_f$ 有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
- $x_0$ 为连续点
- 不连续，间断，不连续点
- 孤立点处连续
- 聚点连续 $\iff \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$
- 四则运算，复合
- 在 $E$ 上一致连续：$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1\in E,\forall x_2\in E$ s.t. $|x_1-x_2|<\delta$ 有 $|f(x_1)-f(x_2)|<E$
- 一致连续则连续
- $f$ 连续且 $\mathfrak{D}_f$ 为有界闭集，则 $f$ 一致连续
线性几何
- 内积：$\langle f,g\rangle_{L^2[a,b]}=\int_a^bf(x)\overline{g(x)}dx$
- 共轭对称性
- 共轭双线性
- 非负性
- 正交规范性：$\langle e^{i2n\pi x},e^{i2m\pi x}\rangle=[n=m]$
- 正交规范族：${e^{i2n\pi x}|n\in\mathbb{Z}}$
- 线性无关性
- $X,Y\in\mathbb{R}^n,\langle X,Y\rangle=\sum_{i=1}^nx_iy_i$
- 对称性
- 双线性
- 正定性
- Cauchy-Schwarz 不等式：$|\langle X,Y\rangle|\leq\lVert X\rVert\cdot\lVert Y\rVert$
- 范数：$\lVert X\rVert=\sqrt{\langle X,X\rangle}$
- 正定性
- 齐次性
- 三角不等式
- $X\perp Y$: $\langle X,Y\rangle=0$
- 双线性，反交换律
- $\lVert a\times b\rVert=\sqrt{\lVert a\rVert^2\lVert b\rVert^2-\langle a,b\rangle^2}$
$$ a\times b =(|\begin{matrix} a_2 & b_2\newline a_3 & b_3 \end{matrix}|,|\begin{matrix} a_3 & b_3\newline a_1 & b_1 \end{matrix}|,|\begin{matrix} a_1 & b_1\newline a_2 & b_2 \end{matrix}|)^T $$
- 直线：$L:X(t)=P+tY$
- 超平面
- 点法式：$\langle Q-P,\mathbf{n}\rangle=0$
- 一般式：$\sum_kn_kx_k+b=0$
- 参数方程：$\Pi:X(\lambda_1,\cdots,\lambda_{k-1})=\sum_{i=1}^{k-1}\lambda_iX_i+P$
- 曲线 $\gamma:I\rightarrow\mathbb{R}^n$
- 参数方程：$\gamma(t)=(\gamma_1(t),\cdots,\gamma_n(t))^T$
- 切向量：$\lambda\gamma’(t_0)$
- 切线：$L:X(t)=\gamma(t_0)+t\gamma’(t_0)$
- 超曲面：$S:F(P)=0,F$ 为连续可微函数
- 切超平面：$\Pi={Q\in\mathbb{R}^k|\langle Q-P,\nabla F(P)\rangle=0}$
多元函数
- 点列 ${P_k}\subset\mathbb{R}^n$
- $\lim_{k\rightarrow+\infty}P_k=P$：$\forall \epsilon>0,\exists N\in\mathbb{R},\forall k>N,\lVert P_k-P\rVert<\epsilon$
- 唯一性
- 点列收敛当且仅当所有坐标对应收敛
- $\delta$-邻域：$U(P;\delta)={Q\in\mathbb{R}^n|d(P,Q)<\delta}$
- $\delta$-邻域去心：$\hat U(P;\delta)=U(P;\delta)\backslash{P}$
- 聚点：$\forall\delta>0,\hat U(P;\delta)\cap E\not=\emptyset$
- 孤立点：$P\in E$ 且 $P$ 非聚点
- 内点：$\exists\delta>0,U(P;\delta)\subseteq E$
- 边界点：$\forall\delta>0,U(P;,\delta)\cap E\not=\emptyset$ 且 $U(P;\delta)\cap(\mathbb{R}^n\backslash E)\not=\emptyset$
- 开集：$E$ 的点皆为 $E$ 的内点
- 闭集：$\mathbb{R}^n\backslash E$ 为开集
- $\lim_{P\rightarrow P_0}f(P)=A$: $\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P\in\hat U(P_0;\delta)\cap D_f,|f(P)-A|<\epsilon$
- 连续：$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P\in U(P_0;\delta)\cap D_f,|f(P)-f(P_0)|<\epsilon$
- $f$ 连续则关于自变量所有分量皆连续
- 映射：$f:E\rightarrow\mathbb{R}^m$
- 连续：$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P\in U(P_0;\delta)\cap D_f,|f(P)-f(P_0)|<\epsilon$
- 凸集：$\forall P\in E,\forall Q\in E,\forall t\in[0,1],tP+(1-t)Q\in E$
- 路连通集：$\forall P\in E,\forall Q\in E$，有连续映射 $\gamma:[0,1]\rightarrow E,\gamma(0)=P,\gamma(1)=Q$
- $\mathbb{R}^1$ 中非空路连通集与凸集相同，为区间或单点集
- 路连通性：$f$ 为连续映射，若$D_f$路连通，则$R_f$亦然
- 介值定理
- 紧性：$f$ 为连续映射，$D_f$ 有界闭集，$R_f$ 有界闭集
- 最值定理：$f$ 为连续函数，$D_f$ 有界闭集，则 $f$ 有最大值与最小值
- 一致连续：$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall P_1\in E,\forall P_2\in E,\lVert P_1-P_2\rVert<\delta,\lVert f(P_1)-f(P_2)\rVert<\epsilon$
- $f$ 为连续映射，且 $D_f$ 有界闭集，则 $f$ 一致连续
- 线性映射：$\mathbf{A}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m,\mathbf{A}(X)=AX$
- 仿射映射：$\mathbf{L}(X)=AX+b$
- $\mathbf{L}(Q)-\mathbf{L}(P)=A(Q-P)$
- $\mathbf{L}(\square(P;X_1,\cdots,X_k))=\square(\mathbf{L}(P);AX_1,\cdots,AX_k))$